Fahrzeug mit variabler Geschwindigkeit

 

 

Am 19. Juli 2008 brachte mein Freund Dr. Matthias Koch ein kleines mathematisches Problem zu meiner Geburtstagsfeier mit: Gegeben sei ein Fahrzeug, das zum Zeitpunkt t=0 mit einer Initialgeschwindigkeit von 100 km/h fährt. Während seiner Fahrt verliert es kontinuierlich an Geschwindigkeit, wobei es pro gefahrenem Kilometer um 1 km/h langsamer wird. Die Frage lautet: Wie lange dauert es, mit diesem Fahrzeug eine Strecke von 50 km zurück zu legen?

Zunächst ist klar, dass dv /ds = -1, da der Graph der gegen die Strecke abgetragenen Geschwindigkeit linear, mit v = 100 km/h bei s = 0 km beginnend, fällt und bei s = 100 km den Wert 0 km/h erreicht. Offensichtlich erreicht man niemals den Punkt s = 100 km, was aber gar nicht zur Fragestellung gehört.

Wenn man nun die Geschwindigkeit gegen die Zeit abträgt, wird klar, dass v(t) die Gestalt exp(-t) besitzen muss, da die Geschwindigkeit bei jeder Entfernung s den Wert 100 - s besitzt.

Da die Fahrtstrecke zu jedem Zeitpunkt t gerade dem Zeitintegral über v(t) entspricht, das die Form 100 * exp(-x) besitzt, kann man

schreiben und dies für t lösen, um die benötigte Zeit zu bestimmen, die f¨r eine Distanz von 50 km notwendig ist. Hiermit reduziert sich die Ausgangsfrage zu
, was zu einer Zeit von etwa 0.693 Stunden führt.

So nett eine analystische Lösung ist, wäre doch ein analoges Modell des Problems noch wesentlich netter.

Was also benötigt wird, ist eine Rechenschaltung zu obigem Problem. Wenn wir ein skaliertes Problem unterstellen, bei dem 100 km durch den Wert 1 repräsentiert werden, ergibt sich v(t) = 1 - s(t), wobei s(t) gerade dem Zeitintegral über v(t) entspricht.

Hierfür benötigt man offenbar einen Integrierer mit v(t) als Eingangswert, dessen Ausgang entsprechend -s(t) ist, da Integrierer (und Summierer) jeweils einen Vorzeichenwechsel durchführen. Addiert man hierzu 1, ergibt sich s(t) - 1 (Vorzeichenwechsel durch Summierer), so dass ein zweiter Summierer nötig ist, um das gewünschte Resultat 1 - s(t) zu liefern, das gerade v(t) entspricht, womit die Schleife geschlossen werden kann.

Zwei Summierer in Reihe können nun jedoch elimiert werden, so dass direkt der Integrierer als summierender Integrierer eingesetzt werden kann, der darüberhinaus den Initialwert -1 erhält, was die Startgeschwindigkeit von 100 km/h repräsentiert. Die resultierende Rechenschaltung hat folgende Gestalt:

Zu klären bleibt noch die Frage, wann v(t) gleich 50 km/h ist. Um dies zu lösen, wird ein Komparator eingesetzt, der bei Erreichen der gewünschten Entfernung die Rechnung anhält, so dass die verstrichene Rechenzeit bestimmt werden kann.

Da wir jedoch keine direkt verfügbare Zeitvariable in der Rechenschaltung vorliegen haben, muss noch ein Integrierer zur Erzeugung einer Maschinenzeitvariablen geschaltet werden:

Die Gesamtrechenschaltung zeigt das Bild unten - der erste Integrierer ganz links dient zur Erzeugung von t (beginnend bei -1), während der zweite Integrierer das eigentliche Fahrzeugproblem löst:

Da der verwendete Analogrechner des Typs Telefunken RA 742 über einen Digitalzusatz DEX 102 verfügt, ist der Ausgang des Komparators nicht direkt auf dem analogen Steckfeld verfügbar, sondern muss am Digitalzusatz abgenommen werden, über den auch der Analogrechner in den Haltzustand versetzt werden kann, wenn v(t) = 0.5 erreicht ist.

Die hierfür nötige Zeitspanne kann nun am Ausgang des Zeitintegrierers bestimmt werden. Mit Hilfe meines geliebten alten Digitalvoltmeters ergibt sich folgender Wert:

Wie bitte? 0.3825? (Eine Maschineneinheit entspricht 10 V, so dass der abgelesene Wert noch durch 10 geteilt werden muss, um Maschineneinheiten zu entsprechen.) Ergab nicht die analytische Lösung einen Wert von 0.693? Stimmt das Ergebnis der Simulation etwa nicht? Nein - es stimmt! Zum einen muss man berücksichtigen, das der Rechenbereich von -1 bis +1 reicht, so dass der Spannungswert 0.3825 dem Wert 1 + 0.3826 entspricht, der nun jedoch noch durch 2 geteilt werden muss, was im Endeffekt den erwarteten Wert von 0.69 in guter Übereinstimmung mit dem analytischen Resultat ergibt.

20-JUl-2008, 21-DEC-2008, ulmann@analogmuseum.org